LOS NÚMEROS ROMANOS

  Para escribir con números romanos, se utilizan estas siete letras. Cada letra tiene un valor.

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100 

D = 500

M = 1.000

• Regla de la suma: una letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a esta su valor. 

• Regla de la resta: las letras I, X o C, colocadas a la izquierda de una de las dos letras de mayor valor que les siguen, le restan a esta su valor.

• Regla de la multiplicación: una raya horizontal colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por 1.000

UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS

 Los astrónomos necesitan medir con mucha precisión los ángulos que forman las estrellas. Cuando medimos un ángulo con el transportador, expresamos su medida en grados; pero, en algunos casos, es necesario ser más precisos en la medida. Por eso, utilizamos unidades menores que el grado: el minuto y el segundo.

El grado, el minuto y el segundo forman un sistema sexagesimal. 

En este sistema, cada unidad de un orden es sesenta veces mayor que la unidad inmediata inferior. Observa cómo se escriben estas unidades y las relaciones que existen entre ellas.

1 grado = 60 minutos => 1º = 60'

1 minuto = 60 segundos => 1' = 60"

PROPIEDADES CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA DE LA SUMA

VÍDEO EXPLICATIVO

• Propiedad conmutativa. En una suma de dos sumandos, si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía.
• Propiedad asociativa. En una suma de tres sumandos, si cambiamos la agrupación de los sumandos, el resultado no varía.  

NÚMEROS POSITIVOS Y NÚMEROS NEGATIVOS

• UTILIZAMOS NÚMEROS CON SIGNO

A veces, el uso de un simple número no es suficiente para expresar ciertas situaciones cotidianas, y necesitamos añadir un signo al número. Por ejemplo:

- Temperaturas por encima o por debajo de cero. El termómetro marca tres grados sobre cero (+) ; El termómetro marca tres grados bajo cero (-).

- Alturas por encima o por debajo del nivel del mar.

- Años antes del nacimiento de Cristo (a.C.) o después de Cristo (d.C.).

Los números que están por encima del cero son los números positivos. Van precedidos del signo más (+).

Los números que están por debajo del cero son los números negativos. Van precedidos del signo menos (-).

MULTIPLICAMOS Y DIVIDIMOS NÚMEROS DECIMALES POR 10, 100, 1.000

 

Observa qué ocurre con la coma al multiplicar un número por 10, 100 ó 1.000:

3, 425 x 10 = 34, 25

3, 425 x 100 = 342, 5

3, 425 x 1.000 = 3.425

Cuando multiplicamos un número decimal por la UNIDAD seguida de CEROS, el resultado es el mismo número con la coma en distinta posición: si se multiplica por 10, la coma se desplaza UN lugar a la DERECHA; si se multiplica por 100, la coma se desplaza dos lugares a la derecha; y si se multiplica por 1.000, la coma se desplaza TRES lugares a la derecha. Si no hay suficientes lugares donde desplazar la coma, se añaden tantos CEROS como sea necesario.

Observa qué ocurre con la coma si dividimos un número entre 10, 100 y 1.000: 

876, 4 : 10 = 87, 64

876, 4 : 100 = 8, 764

876, 4 : 1000 = 0, 8764

Al dividir un número decimal entre 10, el resultado es el mismo número, pero la coma se desplaza UN lugar a la IZQUIERDA; al dividir entre 100, la coma se desplaza DOS lugares a la IZQUIERDA; y al dividir el mismo número entre 1.000, la coma se desplaza tres lugares a la izquierda. Si no hay lugares suficientes en el número, se añaden tantos CEROS como sea necesario. 

EL SISTEMA POSICIONAL

 

 Estamos habituados a dar el valor "cuatrocientos" al 4 que se encuentra en el número 2.461, el valor <<cuarenta>> si la expresión es 1.648 o "cuatro mil" si se trata de 4.892. Esta facilidad con la que percibimos el cambio de valor de la cifra 4, según la posición en que se encuentre, es el resultado de uno de los inventos más importantes que se han dado en la historia de la humanidad: los sistemas de numeración posicionales.

En un sistema de numeración que no fuera posicional, el símbolo que representa a un número tiene el mismo valor sea cual sea la posición que ocupe. Por ejemplo, en el sistema de numeración romano, el número cinco, que viene representado por la letra V, tiene el mismo valor en las expresiones XV, XVI o XII; en cambio, en nuestro sistema de numeración el número cinco valdría cinco unidades en el primer caso, cincuenta en el segundo y quinientas en el tercero. En un sistema de numeración posicional puede leerse el número 425 como <<cinco-dos-cuatro>> sin que esto lleve a errores de ningún tipo. 

Sin embargo, con este método, el número 405 se leería como "cinco- cuatro" que es el vocablo para designar 45. Los sabios hindúes salvaron el obstáculo acuñando una nueva palabra, Sunya, cuyo significado literal es <<el vacío>>.

De esta forma, el número 405 ya podía leerse como <<cinco-vacío- cuatro>>. 

Estos sabios acababan de inventar el número "cero", concepto que con anterioridad ya habían establecido los babilonios y posteriormente los mayas.

*Mayas

El largo viaje de las cifras indoarábigas

A lo largo de la historia, la mayoría de las grandes civilizaciones han creado su propio sistema de numeración, aunque algunas con mayor éxito que otras.

India: (Hacía el siglo V a. C). En el norte de la India se originó el sistema de numeración que utilizamos actualmente.

Babilonia: (Hacía el 1500 a. C). Sistema de numeración posicional, sexagesimal, que incluía el cero.

Arabia: Los árabes adoptaron el sistema de numeración Indio y crearon su propia aritmética en el siglo IX.

Europa: Las cifras árabes se introdujeron en Europa en el siglo X, pero el sistema de cálculo no se impondría definitivamente hasta la Revolución Francesa.

Imperio Maya (Hacía el 1500 a. C). Los mayas, sin la influencia de ninguna otra cultura, crearon un sistema de numeración posicional en base 20 y que incluía el cero.

China: Sistema de numeración posicional decimal. Se introdujo el cero hacia el 1500 a.C. 

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

 Así buscamos números primos y números compuestos

• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

3 es primo porque solo tiene dos divisores.

5 es primo porque solo tiene dos divisores.

Divisores de 3: 1, 3 

Divisores de 5: 1, 5

• Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

6 es un número compuesto porque tiene cuatro divisores:

6 : 1 = 6      6 : 2 = 3      6 : 3 = 2      6 : 6 = 1

Divisores de 6: 1, 2, 3, 6.

Ten en cuenta

El número 1 no es ni primo ni compuesto.

LOS PARÉNTESIS EN LAS SUMAS Y LAS RESTAS

Para calcular una serie de sumas y restas sin paréntesis se hacen las operaciones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis. 

CUADRADO Y CUBO DE UN NÚMERO

El cuadrado de un número es igual al producto de dicho número por sí mismo.

El cubo de un número es igual al producto de dicho número por sí mismo tres veces. 

DIVIDIR CON DECIMALES:

- Si hay decimales sólo en el dividendo, se dividen como si no hubiera coma; al coger el primer decimal se pone coma en el cociente. Si la parte de la izquierda de la coma es menor que el divisor, se pone 0 y coma en el cociente y se coge la cifra siguiente.

- Si hay decimales en el divisor, se puede igualar el número de decimales del dividendo y del divisor, añadiendo ceros, y se tachan las comas. 

CUADRADO Y RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN

Para elevar al cuadrado una fracción:

• Se elevan al cuadrado su numerador y su denominador.

La raíz cuadrada de una fracción es otra fracción cuyo cuadrado es igual a la primera.

Para calcular la raíz cuadrada de una fracción se calcula la raíz de su numerador y de su denominador y se dividen los resultados. 

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Suma de fracciones algebraicas

• La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es el mismo de las fracciones dadas. 
• Para sumar fracciones algebraicas con distinto denominador se reducen a común denominador y después operamos como el caso anterior.
• Para reducir fracciones a común denominador: 

     - Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y éste será el denominador común.

    - Los numeradores de las nuevas fracciones se obtienen al multiplicar los numeradores antiguos por el              cociente de dividir el mínimo común múltiplo por los denominadores correspondientes.

Producto y potencia de fracciones algebraicas

• El producto de fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es producto de los denominadores.
• La potencia de una fracción algebraica es la fracción que se obtiene al multiplicar la fracción dada tantas veces por sí misma como indica el exponente. O bien es la fracción que se obtiene al elevar numerador y denominador expuesto de la potencia.  

Cociente de fracciones algebraicas

• Para dividir dos fracciones algebraicas se multiplica la primera por la que resulta de invertir los términos de la segunda. O bien se multiplican los términos en cruz. 

ECUACIONES

Concepto de ecuación

Ecuación es toda igualdad entre expresiones algebraicas que sólo se cumple para determinados valores de las indeterminadas o variables.

Así, la siguiente igualdad 3x + 2 = 4x - 1 es una ecuación que se cumple para el valor de x = 3. Esto podemos comprobarlo sustituyendo la variable por 3.

3 * 3 + 2 = 9 + 2 = 11    4 * 3 - 1 = 12 - 1 = 11

Al valor o valores para los cuales se cumple la ecuación se le llaman soluciones de la ecuación. 

Una ecuación tiene dos expresiones algebraicas separadas por el signo =. Cada una de ellas se llama miembro de la ecuación. El de la izquierda del signo = se llama primer miembro y el de la derecha se llama segundo miembro.

Así, en la ecuación 3x + 2 = 4x - 1; 3x + 2 será el primer miembro y 4x + 1 será el segundo miembro de la ecuación.

Propiedades de las ecuaciones

Observa las siguientes ecuaciones. ¿Cuál es su solución?

x + 2 = 4    x + 3 = 5     x + 4 = 6

En todas ellas x = 2. Todas tienen la misma solución. Por ello se dice que son ecuaciones equivalentes.
Las propiedades de las ecuaciones son reglas de equivalencia que nos permiten obtener ecuaciones equivalentes a una dada, pero más sencillas y que nos permiten su resolución, es decir, la obtención del valor de la incógnita para el cual se cumple la ecuación.

a) Primera propiedad

Al sumar o restar a los miembros de una ecuación un mismo número o expresión resulta otra ecuación equivalente.
Así, si a la ecuación 3x + 2 = 4x + 1 le restamos 1 en ambos miembros, obtenemos la ecuación equivalente 3x + 2 - 1 = 4x + 1 - 1 => 3x + 1 = 4x.
Igualmente, si ahora restamos la expresión 3x en ambos miembros, obtenemos la ecuación equivalente más sencialla que nos da la solución a la misma.

3x - 3x + 1 = 4x - 3x => x  = 1

Esta propiedad, nos permite plantearnos la siguiente transformación: si cambiamos de miembro un término, cambiándolo de signo, resulta una ecuación equivalente. De esta forma podemos resolver la ecuación.

3x  + 2 = 4x + 1; 3x + 2 - 1 = 4x; 3x + 1 = 4x; 1 = 4x - 3x; x = 1

b) Segunda propiedad.

Al multiplicar o dividir los miembros de una ecuación por el mismo número o expresión resulta otra ecuación equivalente. 
Así, si a la ecuación 5x + 5 = 10 podemos dividir por 5 en ambos miembros, y obtenemos la ecuación equivalente 5x/5  + 5/5  = 10/5; x + 1 = 2; x = 1

Esta propiedad, nos permite plantearnos la siguiente transformación: si un número o expresión aparece multiplicando a un término de la ecuación, podemos pasarlo al otro miembro dividiendo, resultando una ecuación equivalente. De esta forma podemos resolver la ecuación.

5x + 5 = 10; 5x = 10 - 5; 5x = 5; x = 5/5; x = 1

• Un punto divide a una recta en dos semirrectas. Un segmentos es una parte de recta limitada por dos puntos.
• La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

• La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por su vértice y lo divide en dos ángulos iguales.

MAGNITUDES

Magnitudes Escalares

Son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un solo número real y una unidad de medida como por ejemplo: la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo, el tiempo transcurrido, etc.

Magnitudes Vectoriales

Son aquellas que no se pueden determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida.

Magnitudes Auxiliares

No se comparan con las magnitudes fundamentales, son el ángulo plano y el ángulo sólido.

Sistema Internacional

La base del sistema internacional de unidades, cuya abreviatura, SI, está tomada del francés Le Systéme International d`Unités. El SI es la forma moderna de lo que se conoce comúnmente con el nombre de sistema métrico.

Por otro lado sabemos que:

"Todas las magnitudes físicas pueden expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales. Muchas de las magnitudes tales como la velocidad, fuerza, ímpetu o momento lineal, trabajo, energía y potencia, pueden expresarse en función de tres unidades fundamentales: longitud, tiempo y masa. La selección de las unidades patrón o estándar para esas magnitudes fundamentales determinan un sistema de unidades. El Sistema que se utiliza universalmente en la comunidad científica es el Sistema Internacional (SI)"

Pues en sí, el Sistema Internacional de Unidades es el sistema de unidades más extensamente, también conocido como sistema métrico, especialmente en los lugares en las que aún no se ha implantado su uso cotidiano, por lo que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales, añadiendo la séptima unidad básica, el mol. 

EL LITRO: Unidad de medida de capacidad

El litro es la unidad principal de medida de capacidad.

Un litro se escribe: 1 l. 
Cuando queremos medir capacidades menores que un litro, utilizamos el medio litro y el cuarto de litro.

ÁREA DEL TRIÁNGULO

¿Cuál es el área de este triángulo?

Observa cómo se obtiene el área de este triángulo. 

Primero traza paralelas a los lados (los puntos). Así se obtienen un romboide que tiene la misma base y la misma altura que el triángulo.

Observa que el área del triángulo es la mitad del área del romboide. Por tanto:

Área del triángulo = Área del romboide

                         2

Área del triángulo = 4 cm x 2 cm = 4 cm2

                  2

El área de este triángulo es 4 cm2.

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El área del triángulo es igual al producto de la medida de la base por la medida de la altura partido por dos.

Área del triángulo = base x altura

                                2

ÁREA DEL ROMBOIDE Y DEL ROMBO

¿Cuál es el área de este romboide?

Observa cómo se obtiene el área de este romboide.

1.º Corta por la línea de puntos.

2.º Traslada el triángulo obtenido al lugar que se indica.

3.º Así, se obtiene un rectángulo cuya base y altura son iguales a las del romboide. Por tanto:

Área del romboide = Área del rectángulo

Área del romboide = 3 cm x 2 cm = 6 cm2

El área de este romboide es 6 cm2.

¿Cuál es el área de este rombo?

Observa cómo se obtiene el área de este rombo.

Primero traza paralelas a las diagonales por los vértices. 

Así se obtienen un rectángulo de lados 5 cm y 2 cm cuya área es 5 cm x 2 cm = 10 cm2.

Observa que el rectángulo dibujado tiene 8 triángulos iguales y que 4 de ellos están en el rombo. Por lo tanto, el área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

Área del rombo = Área del rectángulo = 5 x 2 = 5 cm 2

                     2                       2

El área de este rombo es 4 cm2

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El área del romboide es igual al producto de la medida de la base por la medida de la altura:

ÁREA DEL ROMBOIDE = base x altura

El área del rombo es igual al producto de la medida de la diagonal mayor por la medida de la diagonal menor partido por 2.

ÁREA DEL ROMBO = diagonal mayor x diagonal menor

                                          2

UNIDADES AGRARIAS

Para medir superficies de campos, fincas, etc., se utilizan las unidades agrarias.
Las unidades agrarias son:

• La centiárea (ca), que es igual a un metro cuadrado: 1ca = 1m2
• El área (a), que es igual a un decámetro cuadrado: 1 a = 1 dam2
• La hectárea (ha), que es igual a un hectómetro cuadrado: 1 ha = 1hm2

ÁREA DEL RECTÁNGULO Y DEL CUADRADO

¿Cuál es el área de este rectángulo?

Observa la medida de la base y de la altura.

      Base -> 10 cm       Altura -> 6 cm

Por tanto su área es: 10 x 6 = 60 cm2

Área del rectángulo = 10 cm x 6 cm = 60 cm2

¿Cuál es el área de este cuadrado?

Como el cuadrado es un rectángulo en el que la base es igual a la altura, su área se calcula del mismo modo que el área del rectángulo.

Así el área del cuadrado que tiene 3 cm de lado es: 

Área = 3 cm x 3 cm = 9 cm2

El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de la base por la medida de la altura.

El área de un cuadrado es igual al producto de la medida del lado por sí misma.