ECUACIONES

Concepto de ecuación

Ecuación es toda igualdad entre expresiones algebraicas que sólo se cumple para determinados valores de las indeterminadas o variables.

Así, la siguiente igualdad 3x + 2 = 4x - 1 es una ecuación que se cumple para el valor de x = 3. Esto podemos comprobarlo sustituyendo la variable por 3.

3 * 3 + 2 = 9 + 2 = 11    4 * 3 - 1 = 12 - 1 = 11

Al valor o valores para los cuales se cumple la ecuación se le llaman soluciones de la ecuación. 

Una ecuación tiene dos expresiones algebraicas separadas por el signo =. Cada una de ellas se llama miembro de la ecuación. El de la izquierda del signo = se llama primer miembro y el de la derecha se llama segundo miembro.

Así, en la ecuación 3x + 2 = 4x - 1; 3x + 2 será el primer miembro y 4x + 1 será el segundo miembro de la ecuación.

Propiedades de las ecuaciones

Observa las siguientes ecuaciones. ¿Cuál es su solución?

x + 2 = 4    x + 3 = 5     x + 4 = 6

En todas ellas x = 2. Todas tienen la misma solución. Por ello se dice que son ecuaciones equivalentes.
Las propiedades de las ecuaciones son reglas de equivalencia que nos permiten obtener ecuaciones equivalentes a una dada, pero más sencillas y que nos permiten su resolución, es decir, la obtención del valor de la incógnita para el cual se cumple la ecuación.

a) Primera propiedad

Al sumar o restar a los miembros de una ecuación un mismo número o expresión resulta otra ecuación equivalente.
Así, si a la ecuación 3x + 2 = 4x + 1 le restamos 1 en ambos miembros, obtenemos la ecuación equivalente 3x + 2 - 1 = 4x + 1 - 1 => 3x + 1 = 4x.
Igualmente, si ahora restamos la expresión 3x en ambos miembros, obtenemos la ecuación equivalente más sencialla que nos da la solución a la misma.

3x - 3x + 1 = 4x - 3x => x  = 1

Esta propiedad, nos permite plantearnos la siguiente transformación: si cambiamos de miembro un término, cambiándolo de signo, resulta una ecuación equivalente. De esta forma podemos resolver la ecuación.

3x  + 2 = 4x + 1; 3x + 2 - 1 = 4x; 3x + 1 = 4x; 1 = 4x - 3x; x = 1

b) Segunda propiedad.

Al multiplicar o dividir los miembros de una ecuación por el mismo número o expresión resulta otra ecuación equivalente. 
Así, si a la ecuación 5x + 5 = 10 podemos dividir por 5 en ambos miembros, y obtenemos la ecuación equivalente 5x/5  + 5/5  = 10/5; x + 1 = 2; x = 1

Esta propiedad, nos permite plantearnos la siguiente transformación: si un número o expresión aparece multiplicando a un término de la ecuación, podemos pasarlo al otro miembro dividiendo, resultando una ecuación equivalente. De esta forma podemos resolver la ecuación.

5x + 5 = 10; 5x = 10 - 5; 5x = 5; x = 5/5; x = 1